Question

已知函数f(x)=x²-cosx对于[-π/2,π/2]上的任意x1,x2,有如下条件：

①x1＞x2；②x1²＞x2²；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是

【解析】函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤π/2时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，π/2]上为单调增函数，由偶函数性质知函数在[-π/2，0]上为减函数．
……

【【【【这里f′（x）=2x+sinx是什么意思？】】】】

Answer 1

f′（x）=2x+sinx是求的原函数的导数

f(x)=x²-cosx
则f(x)的导数 也即f'(x)=2x+sinx
如果你学过导数了的话
利用公式：(x^α)'=αx^(α-1) 所以(x²)'=2x
利用公式：(cosx)'=-sinx 所以f'(x)=2x+sinx
如果你还没学导数的话 那么这题超范围。

追问

不知道导数 那这道题用别的方法能做出来吗

追答

其实也可以利用一个小结论：
两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 来做
0＜x≤π/2时 y=-cosx是增函数 y=x²也是增函数 所以f(x)=x²-cosx是增函数

-π/2≤x≤0时 y=-cosx是减函数 y=x²也是减函数 所以f(x)=x²-cosx是减函数

下面步骤跟你原来的解析一致即可

Answer 2

f(x)=x²-cosx的导函数为f′（x）=2x+sinx，这则么不能理解。。？

Answer 3

解：函数f（x）=x2-cosx为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤
π
2
时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，
π
2
]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-
π
2
，0]上为减函数．
当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|≥0，
∴f（|x1|）＞f（|x2|），由函数f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上为偶函数得f（x1）＞f（x2），故①②成立；
当x1，x2∈[-
π
2
，0]时，由cosx1＞cosx2，得x1＞x2，此时f（x1）＜f（x2），③不正确；
当x1，x2∈[-
π
2
，0]时，由sinx1＞sinx2，得x1＞x2，此时f（x1）＜f（x2），④不正确．
∴能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是①②．
故选：B．