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不妨设f>0，若f<0同理可证。
反证法：
如若不然，即存在(a,b)属于D，使得f(a,b)>0。
因为f连续，所以Lim<(x,y)→(a,b)>f(x,y)=f(a,b)>0。
由极限的保号性，则存在点(a,b)的邻域C含于D，
使得在C上f>0。
这时积分∫∫<D>…=∫∫<C>…+∫∫<D\C>…★
其中∫∫<C>…大于零，∫∫<D\C>…大于等于零，
所以★>0得到矛盾。证毕
反证法：
如若不然，即存在(a,b)属于D，使得f(a,b)>0。
因为f连续，所以Lim<(x,y)→(a,b)>f(x,y)=f(a,b)>0。
由极限的保号性，则存在点(a,b)的邻域C含于D，
使得在C上f>0。
这时积分∫∫<D>…=∫∫<C>…+∫∫<D\C>…★
其中∫∫<C>…大于零，∫∫<D\C>…大于等于零，
所以★>0得到矛盾。证毕
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