Question

高中数列难题。

设数列{an}的前n项和为sn,满足2sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,n属于n*.且a1,a2+5,a3成等差数列.1,求a1值。2，求{an}通项公式。3，证明对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...+1/an<3/2。 谢谢，要过程。

Answer 1

解：（1）在2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1中，
令n=1得：2S1=a2-2^2+1，
令n=2得：2S2=a3-2^3+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1，
2S(n+1)=a(n+2)-2^(n+2)+1
得a(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1)，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+2^1，
所以a(n+1)=3an+2^n对n∈N*成立
∴a(n+1)+2^(n+1)=3（an+2^n），又a1=1，a1+2^1=3，
∴an+2^n=3^n，
∴an=3^n-2^n；
（3）
∵an=3^n-2^n=（3-2）（3^(n-1)+3^(n-2)×2+3(n-3)×2^2+…+2^(n-1)）≥3^(n-1)
∴ 1/an≤1/3^(n-1)
∴1/a1+2/a2+3/a3+......1/an≤1+1/3+1/3^2+......+1/3^(n-1)= 1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2

Answer 2

在2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1中，
令n=1得：2S1=a2-2^2+1，
令n=2得：2S2=a3-2^3+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
再由2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1，
2S(n+1)=a(n+2)-2^(n+2)+1
得a(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1)，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+2^1，
所以a(n+1)=3an+2^n对n∈N*成立
∴a(n+1)+2^(n+1)=3（an+2^n），又a1=1，a1+2^1=3，
∴an+2^n=3^n，
∴an=3^n-2^n；
最后
∵an=3^n-2^n=（3-2）（3^(n-1)+3^(n-2)×2+3(n-3)×2^2+…+2^(n-1)）≥3^(n-1)
∴ 1/an≤1/3^(n-1)
∴1/a1+2/a2+3/a3+......1/an≤1+1/3+1/3^2+......+1/3^(n-1)= 1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2