Question

如图A、B、C、D是圆O上的四点,且AC//BD, OA⊥OB求证:AD⊥BC

Answer 1

∵OA==OB，OA⊥OB
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OAB=∠OBA=45°
∵AC∥BD
∴∠DBA+∠CAB=180°
∠BDC+∠ACD=180°
∴∠DBO+∠CAO=90°
∵OB=OD，OC=OA
∴∠BDO=∠DBO，∠CAO=∠ACO
∴∠BDO+∠ACO=90°
∴∠ODC+∠OCD=90°
∴∠COD=90°
∵∠AOB=∠COD=90°
OA=OB=OC=OD
∴△AOB≌△COD
∴AB=CD
∴AB∥CD
∴ABDC是平行四边形
∴AC=BD
∵OA=OB=OC=OD
∴△AOC≌△BOD(SSS)
∴∠BOD=∠AOC
∵∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°
∴∠BOD=∠AOC=90°
∴∠AOB+∠BOD=180°
∠BOD+∠COD=180°
∴A、O、D在同一条直线上
B、O、C在同一条直线上
∴AD⊥BC