Question

根号下1+1/1²+1/2²=？；根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3²=？

根号下1+1/1²+1/2²=？；根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3²=？；根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3² + 根号下1+1/3²+1/4²=？ 由此猜想：根号下1+1/n²+1/（n+1）²=？；根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3² + 根号下1+1/3²+1/4² + ...+ 根号下1+1/2003²+1/2004²=？

Answer 1

可以用归纳思想
根号下1+1/1²+1/2²=3/2
根号下1+1/2²+1/3²=7/6
根号下1+1/3²+1/4²=13/12
……
由此猜想：根号下1+1/n²+1/（n+1）²=[n(n+1)+1]/n(n+1)

根号下1+1/1²+1/2²=3/2
根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3²=3/2+7/6=16/6
根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3² + 根号下1+1/3²+1/4²=45/12
……
由此猜想根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3² + 根号下1+1/3²+1/4² + ...+ 根号下1+1/2003²+1/2004²+根号下1+1/n²+1/（n+1）²=[n(n+1)(n+1)-n]/[n(n+1)]
所以
根号下1+1/1²+1/2² + 根号下1+1/2²+1/3² + 根号下1+1/3²+1/4² + ...+ 根号下1+1/2003²+1/2004²=[2003*2004*2004-2003]/2003*2004.