Question

分式方程应用题

某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行使，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行使，两人也走梯），如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍。已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部。（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离），求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
急！！！！！！！！

Answer 1

加到50分了？我来帮你做吧

假设男孩每分钟走2a级，则女孩每分钟走a级，自动扶梯每分钟上移b级
27/(2a)*(2a+b)=18/a*(a+b)=自动扶梯级数
解得b/a=2,自动扶梯级数=18/a*(a+b)=18*(1+b/a)=54级
所以自动扶梯露出地面54级。

同时楼梯也是54级
女孩走18级到达顶部时男孩走了18*2=36步，36-27=9也就是此时男孩下了9级楼梯，然后男孩再走54-9=45级下到楼底，再走27级上到楼顶共45+27=72，此时女孩走了72/2=36级，等女孩再走54-36=18级下到楼底时男孩下楼梯18*2=36级，男孩再走54-36=18级时女孩上楼梯18/2=9级上到自动扶梯1/2处，女孩再走9级上到顶，男孩同时走了18级，男孩再走27-18=9级到顶时，女孩下楼9/2=4.5级，估计在这段男孩可以追上女孩。设此时男孩再走x级追上女孩，x=4.5+x/2，解得x=9，9<54符合题意。
综上此时男孩共走了36+45+27+36+18+18+9+9=198级台阶
可能有更简单的办法

更简单的办法，设男孩走27级用时为t，则女孩用时为2t，
则男孩上扶梯一次用时为t，下楼梯一次用时为54/27*t=2t，一圈用时3t
女孩上扶梯用时为2t/27*18=4/3*t，下楼梯用时54/27*2t=4t，一圈用时16/3*t
设男孩在第n圈赶上女孩，则
(n-1)*3t>(n-2)*16/3*t
n*3t<(n-1)16/3*t
解上面不等式可得16/7<n<23/7
n为整数，所以n=3，即男孩在第三圈追上女孩
男孩走完前两圈再次位于起点时走了(27+54)*2=162步，
与此同时女孩走了162/2=81步，女孩走一圈用18+54=72步，第二圈走了81-72=9步，从此时开始推算，男孩再走27步到达扶梯顶部，此时女孩第二圈走了9+27/2=22.5步，除去上扶梯用去18步，女孩位于下楼梯第4.5级，然后男孩再走9步追上女孩(此步计算见上)，所以男孩此时已共走了162+27+9=198步。
结果完全相同。

Answer 2

加到50分了？我来帮你做吧

假设男孩每分钟走2a级，则女孩每分钟走a级，自动扶梯每分钟上移b级
27/(2a)*(2a+b)=18/a*(a+b)=自动扶梯级数
解得b/a=2,自动扶梯级数=18/a*(a+b)=18*(1+b/a)=54级
所以自动扶梯露出地面54级。

同时楼梯也是54级
女孩走18级到达顶部时男孩走了18*2=36步，36-27=9也就是此时男孩下了9级楼梯，然后男孩再走54-9=45级下到楼底，再走27级上到楼顶共45+27=72，此时女孩走了72/2=36级，等女孩再走54-36=18级下到楼底时男孩下楼梯18*2=36级，男孩再走54-36=18级时女孩上楼梯18/2=9级上到自动扶梯1/2处，女孩再走9级上到顶，男孩同时走了18级，男孩再走27-18=9级到顶时，女孩下楼9/2=4.5级，估计在这段男孩可以追上女孩。设此时男孩再走x级追上女孩，x=4.5+x/2，解得x=9，9<54符合题意。
综上此时男孩共走了36+45+27+36+18+18+9+9=198级台阶
可能有更简单的办法

更简单的办法，设男孩走27级用时为t，则女孩用时为2t，
则男孩上扶梯一次用时为t，下楼梯一次用时为54/27*t=2t，一圈用时3t
女孩上扶梯用时为2t/27*18=4/3*t，下楼梯用时54/27*2t=4t，一圈用时16/3*t
设男孩在第n圈赶上女孩，则
(n-1)*3t>(n-2)*16/3*t
n*3t<(n-1)16/3*t
解上面不等式可得16/7<n<23/7
n为整数，所以n=3，即男孩在第三圈追上女孩
男孩走完前两圈再次位于起点时走了(27+54)*2=162步，
与此同时女孩走了162/2=81步，女孩走一圈用18+54=72步，第二圈走了81-72=9步，从此时开始推算，男孩再走27步到达扶梯顶部，此时女孩第二圈走了9+27/2=22.5步，除去上扶梯用去18步，女孩位于下楼梯第4.5级，然后男孩再走9步追上女孩(此步计算见上)，所以男孩此时已共走了162+27+9=198步。
结果完全相同。很经典的传送带问题：
解：
设梯长为x，梯的速度为w，男女孩的速度分别为m,n，他们上梯的时间分别为t1,t2.
由题可知：m=2n
又上梯过程中男孩走的路程应该等于梯长减去梯子的路程，即：
27=x-w*t1; （1）
同理，女孩有： （2）
18=x-w*t2;
又：t1=27/m, t2=18/n;
带入（1），（2）得：
27-x=-27w/m; (3)
18-x=-18w/n; ($)
那么：(3)/(4)=（27-x)/(18-x)=27n/18m
从而可得：x=54;
解毕。
第二问：
好象好分类讨论，一时间还没想到，想好了在给你说！

Answer 3

很经典的传送带问题：
解：
设梯长为x，梯的速度为w，男女孩的速度分别为m,n，他们上梯的时间分别为t1,t2.
由题可知：m=2n
又上梯过程中男孩走的路程应该等于梯长减去梯子的路程，即：
27=x-w*t1; （1）
同理，女孩有： （2）
18=x-w*t2;
又：t1=27/m, t2=18/n;
带入（1），（2）得：
27-x=-27w/m; (3)
18-x=-18w/n; ($)
那么：(3)/(4)=（27-x)/(18-x)=27n/18m
从而可得：x=54;
解毕。
第二问：
好象好分类讨论，一时间还没想到，想好了在给你说！

Answer 4

（1）
设扶梯级数为X，女孩速度为Y,则女孩用时18/Y,男孩用时为27/2Y；
有方程：(X-18)/(18/Y)=(X-27)/(27/2Y)
得X=54.
（2）
男孩走一个循环为54+27=81级，
女孩走一个循环为54+18=72级，
男孩走完81级时，女孩走了40.5级，还剩72-40.5=31.5级，也就是说男孩没个循环追回31.5级，两个循环追回63级，第三个循环开始时男孩已走162级，女孩走81级，相当于女孩第二循环才走了9级，男孩再追18级就追上女孩，共走162+18=180

Answer 5

回答者：RR3Rzhaogj007 - 举人 五级
最后一步错了，男孩走完第二个循环时，女孩第二个循环确实走了9步，但是女孩走9步的同时自动扶梯也在上升，所以此时男孩和女孩之间的距离并不是9级台阶而是大于9级。