Question

求由方程xyz+(x^2+y^2+z^2)^(1/2)=2^(1/2)所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的

求由方程xyz+(x^2+y^2+z^2)^(1/2)=2^(1/2)所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分。请详细点 谢谢

Answer 1

为方便，记p=√(x^2+y^2+z^2), 则xyz+p=√2, p=√2-xyz
两边对x求偏导得：yz+xyz'(x)+[x+zz'(x)]/p=0
得：z'(x)=(-yz-x/p)/(xy+z/p)=-(pyz+x)/(pxy+z)
同理，因x,y是对称的，两边对y求偏导得：
z'(y)=-(pxz+y)/(pxy+z)
因此z的全微分dz=z'(x)dx+z'(y)dy
在点(1,0,-1)处，p=√2-1*0*(-1)=√2
z'(x)=-(√2*0+1)/(0-1)=1
z'(y)=-(√2*1*(-1)+0)/(0-1)=-√2
所以dz=dx-√2 dy