Question

已知函数f(x)={ax-2(x≤1) log2a(x)(x>1)函数g(x)=ax^2-(a^2+1)x+a（a＞0且a≠1/2

当实数a取什么值时，对任意x∈（-∞，1】，不等式f(x)≤g(x)恒成立

Answer 1

对于X≤1 有f(x)=ax-2 g(x)=ax^2-(a^2+1)x+a
令F(x)=g(x)-f(x)
F'(x)=2ax-a^2-1-a 令F'(x)=0得 x=(a^2+a+1)/2a 根据题意知a>0 且a≠1/2 所以有
x=(a^2+a+1)/2a >0 恒成立 当(a^2+a+1)/2a≥1时 F(x)min=F(1)=-a^2-a+1
另F(1)>0 得a∈（0,1/2）∪（1/2，（-1+√5）/2]
当(a^2+a+1)/2a<1时 F(x)min=F((a^2+a+1)/2a)=(-a^4-2a^3+a^2-10a-1)/4a 显然小于0
综合上述得a∈（0,1/2）∪（1/2，（-1+√5）/2]

Answer 2

已知函数f(x)={ax-2(x≤1) log2a(x)(x>1)函数g(x)=ax^2-(a^2+1)x+a（a＞0且a≠1/2）, 当实数a取什么值时，对任意x∈（-∞，1】，不等式f(x)≤g(x)恒成立
解析：∵分段函数f(x)=ax-2 (x≤1)； log(2a,x) (x>1)
函数g(x)=ax^2-(a^2+1)x+a（a＞0且a≠1/2）

设h(x)=ax^2-(a^2+1)x+a-ax+2= ax^2-(a^2+a+1)x+a+2
其对称轴为x=(a^2+a+1)/(2a)>1
∴对任意x∈（-∞，1】h(x)单调减；
h(1)=-a^2+a+1>=0==>(1-√5)/2<=a<=(1+√5)/2
∴0<a<=(1+√5)/2且a≠1/2