Question

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于E点，求抛物线PE长度的最大值

Answer 1

（1）由x^2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3,
∴A(-1，0),B(3，0).
xC=2,∴yC=-3,
设AC:y=kx+b,则
0=-k+b,
-3=2k+b.
解得k=-1,b=-1,
∴AC:y=-x-1.
(2)设P（p,-p-1),-1<=p<=2,
PE:x=p,交抛物线于E(p,p^-2p-3),
|PE|=|p^-2p-3-(-p-1)|=|p^-p-2|=|(p-1/2)^2-9/4|,记为g(p),
g(1/2)=9/4,g(-1)=g(2)=0,
∴|PE|的最大值=9/4.