Question

如图，三角形ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，角ADE=60度，

如图，三角形ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，角ADE=60度，边DE与角ACB外角的平分线相交于点E

求证 AD=DE

Answer 1

解：如图，在AB上截取AF=CD
因为角ABD=角ADE=60度，根据外角关系，得出角FAD=角EDC
因为AB=BC，且AF=CD
所以AB-AF=BC-CD
即BF=BD
所以三角形BDF为等边三角形，所以
角AFD=角DCE=120度
所以根据ASA
得出三角形AFD全等于 三角形DCE
所以AD=DE

Answer 2

我们设AC交DE于F，作辅助线AB边取BH=BD
（主要思想是证三角形AHD全等于三角形DCE，用角角边）
因为AB=BC，BH=BD，所以AH=DC（一对边）
因为BH=BD，角B60度，所以三角形BHD等边，所以角BHD为60度则角AHD为120度
因为角C外角120度，CE平分它，所以角C+角ACE=角DCE=120度，即角AHD=角DCE(一组角)
因为角ADE=角ACE=60度，角AFD=角ECD,所以角DAC=角CED，因为HD||CA，所以角DAF=角ADH，所以角CED=角ADH（一组角）
所以三角形AHD全等于三角形DCE，所以AD=DE，以为角ADE=60度，所以三角形ADE为等边三角形