Question

数列与极限

国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品价格0.8的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格0.8的贷款，该企业又将新贷款进行再投资，这样贷款，投资，再贷款，再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？

Answer 1

设企业进行第n次抵押贷款获得的资金为an：
不进行抵押贷款，企业获得的资金a0=2万元
进行第一次抵押贷款，企业获得的资金a1=2×0.8=2×0.8^1
进行第二次抵押贷款，企业获得的资金a2=2×0.8^2
进行第三次抵押贷款，企业获得的资金a2=2×0.8^3
依此类推，
进行n次抵押贷款，企业,得的资金为Sn=2×(0.8^1+0.8^2+0.8^3+······+0.8^n)
Sn公式中的(0.8^1+0.8^2+0.8^3+······+0.8^n)
这是一个等比数列，公比a=0.8，q=0.8
前n项和Sn=a×(1-q^n)/(1-q)
当进行无限多次时，即n趋同无穷时，有
=a/(1-q)=0.8/(1-0.8)=4

所以，2×Sn=2×4=8
贷款所得8加上原来的2=10。
其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果。

Answer 2

设企业进行n次抵押贷款获得的资金为an：
不进行抵押贷款，企业获得的资金a0=2万元
进行一次抵押贷款，企业获得的资金a1=2×0.8=2×0.8^1
进行二次抵押贷款，企业获得的资金a2=2×0.8+2×0.8×0.8=2×(0.8^1+0.8^2)
进行三次抵押贷款，企业获得的资金a2=2×0.8+2×0.8×0.8+2×0.8×0.8×0.8=2×(0.8^1+0.8^2+0.8^3)
依此类推，
进行n次抵押贷款，企业,得的资金为an=2×(0.8^1+0.8^2+0.8^3+······+0.8^n)
an公式中的(0.8^1+0.8^2+0.8^3+······+0.8^n)相当于一个b1=0.8，q=0.8的等比数列的前n项和Sn，Sn的极限=b1×(1-q^n)/(1-q)=b1/(1-q)=0.8/(1-0.8)=4
所以，本题中an的极限=2×Sn=2×4=8
其实际效果相当于国家投资8万元所产生的直接效果。

Answer 3

2*(1+0.8+0.8^2+0.8^3+……)=10万元