Question

P可逆 A,B唯一且不为零矩阵，PA=B问 P是否唯一 请证明

Answer 1

如果A可逆（B可逆，实际上只要一个可逆另一个可逆）那么P唯一。

若A（B）不可逆，则不为一
因为P可逆，A，B的列向量等价。
那么对A施以列变换Q有AQ=(a1,a2,...,ar,0,0,..,0)其中a1,a2,...,ar线性无关。
那么对B施以同样的列变换有结果BQ=(b1,b2,...,br,0,0,..,0)其中b1,b2,...,br线性无关。

那么只要保证Pai=bi，i=1,2,...,r那么就可以使得PA=B，这样只有有rn+1（加的这个1是因为P可逆)个方程，不能唯一解出n^2个未知数。故P不唯一。

或者，如果你学的是高等代数。那么更好解释些。
你将P看成一个非奇异线性变换，A和B是一些向量，那么这在使得A,B极大无关逐点定义的基础上，分别扩张A和B的极大无关组为V的一个基，那么这样的扩张将唯一确定P，但这样的扩张不是唯一的。