高数 第五大题
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证明：用反证法。
假设不存在任何一点ξ属于(a,b)使得f'(ξ)<0，也即：
在区间(a,b)上，恒有f'(x)≥0。
则：
∫(c,b)f'(x)dx=f(b)-f(c)=0-f(c)<0
然而在区间(c,b)内，f'(x)≥0，故有∫(c,b)f'(x)dx≥∫(c,b)0dx=0
这与
∫(c,b)f'(x)dx<0矛盾。
所以假设不成立。
命题得证。
事实上本题与f(a)=0毫无关系，此条件为多余条件，可以去掉。
假设不存在任何一点ξ属于(a,b)使得f'(ξ)<0，也即：
在区间(a,b)上，恒有f'(x)≥0。
则：
∫(c,b)f'(x)dx=f(b)-f(c)=0-f(c)<0
然而在区间(c,b)内，f'(x)≥0，故有∫(c,b)f'(x)dx≥∫(c,b)0dx=0
这与
∫(c,b)f'(x)dx<0矛盾。
所以假设不成立。
命题得证。
事实上本题与f(a)=0毫无关系，此条件为多余条件，可以去掉。
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