Question

在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE,PF分别交AB，AC于点E,F.

1.求证：AC=AE+AF；
2.探索△EPF是否为等腰直角三角形；
3.若AP=2，求S四边形AEPF.如图：

Answer 1

1.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°;P为BC中点.
∴AP⊥BC;∠PAE=(1/2)∠BAC=45°;AP=BC/2=PC.
∵∠APC=∠EPF=90°.
∴∠APE=∠CPF;
又AP=PC;∠PAE=∠C=45°.
∴⊿PAE≌⊿PCF(ASA),AE=CF.
故:AC=CF+AF=AE+AF.
2.⊿EPF是等腰直角三角形.
证明:∵⊿PAE≌⊿PCF(已证).
∴PE=PF;又∠EPF=90°.
故:⊿EPF是等腰直角三角形.
3.解:∵⊿PAE≌⊿PCF(已证).
∴S⊿PAE=S⊿PCF.
则:S四边形AEPF=S⊿APC=AP*PC/2=2*2/2=2.

Answer 2

1.连接PA
因为 △ABC中AB=AC,∠BAC=90度，P是BC的中点
所以 PA=PC，角APC=90度，角PAE=角PCF=45度
因为 角FPE=角APC=90度
所以 角CPF=角APE
因为 PA=PC，角PAE=角PCF
所以 三角形CFP全等于三角形AEP
所以 AE=CF

2. FA=EB，CF+EB=AE+FA=AB=AC，AEPF的面积为定值，
A，E，P，F四点共圆，角APE=角AFE，角FPA=角FEA
对吗？