若λ1，λ2是A的两个不同的特征值，p1，p2分别为对应于λ1，λ2的特征向量。证明：p1+p2不是A的特征向量。
2个回答
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证明: 反证.
假设 p1+p2 是A的属于特征值λ的特征向量
则 A(p1+p2) = λ(p1+p2)
而 A(p1+p2)=Ap1+Ap2=λ1p1+λ2p2
所以 (λ-λ1)p1+(λ-λ2)p2=0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 λ-λ1 = λ-λ2 = 0
所以 λ=λ1=λ2, 矛盾.
假设 p1+p2 是A的属于特征值λ的特征向量
则 A(p1+p2) = λ(p1+p2)
而 A(p1+p2)=Ap1+Ap2=λ1p1+λ2p2
所以 (λ-λ1)p1+(λ-λ2)p2=0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 λ-λ1 = λ-λ2 = 0
所以 λ=λ1=λ2, 矛盾.
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