Question

如图，AB是圆O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交圆O于D、E，连接AD并延长交BC于点F．

若BC/AB=3/2，求tan∠E的值．

Answer 1

过点C做BC的垂直线CM，延长BD,与CM相交于点M。

∵AB是直径   ∴∠ADB=90°   ∴∠MDF=90°  即∠1+∠2=90°

∵ CM⊥B   ∴∠MCB=90°  即∠M+∠MBC=90°

 

∵∠A与∠E同为弧DB所对的角   ∴∠A=∠E

∵OA=OD  ∴∠A=∠3

∵∠3=∠2  ∴∠2=∠A  ∴∠2=∠E

∵∠MBC=∠E  ∴∠2=∠MBC

 

∵∠1+∠2=90°  ∠M+∠MBC=90°  ∠2=∠MBC   ∴∠1=∠M    ∴MC=CD

 

在RT△EBD与RT△BCM中

∵∠EBD=∠BCM=90°  ∠E=∠MBC 

∴RT△EBD∽RT△BCM     

∴tan∠E=DB:EB=MC:BC=CD:BC         

 

设圆0的半径长度为1个单位，则直径ED、AB的长度为2个单位，BC的长度则为3个单位

∵BC²=CD*CE=CD*(CD+ED)   即 3²=CD*(CD+2) 

解得CD=(√10)-1 

∴CD:BC=[(√10)-1]个单位/3个单位=[(√10)-1]/3

 

∴tan∠E=[(√10)-1]/3

 

 

Answer 2

显然∠BOC=∠2E
则tan∠BOC=BC/OB=3/1=tan∠2E
后面可以查表求出∠BOC然后除以2得∠E，再查表
或者通过正切变换求出tan∠E值