Question

如图，点A、E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD与点F，

过点A作AG平行BE交BC与G（1）判断直线AG与圆O的位置关系，并说明理由。
(2)求线段AF的长。

Answer 1

连结OA，
∵弧AB=弧AE，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG和圆O相切。

（2）连结AB，
∵∠OAG=90°，∠AOG=60°，OA=1，
∴OG=2，AG=√3，
又∵AD⊥BC，
∴OD=OA/2=1/2，
∴BD=1/2，DG=3/2
∵AG∥BE，
∴BF/AG=BD/DG=1/3
∴BF=√3/3
∵∠ABF=∠BAF=30°，
∴AF=BF=√3/3

Answer 2

连结OA，
∵弧AB=弧AE，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG和圆O相切。

（2）连结AB，
∵∠OAG=90°，∠AOG=60°，OA=1，
∴OG=2，AG=√3，
又∵AD⊥BC，
∴OD=OA/2=1/2，
∴BD=1/2，DG=3/2
∵AG∥BE，
∴BF/AG=BD/DG=1/3
∴BF=√3/3
∵∠ABF=∠BAF=30°，
∴AF=BF=√3/3