Question

高数曲面积分。 计算I=∫∫S (x+2y+4z+5)²dS,其中S是八面体｜x｜＋｜y｜＋｜z｜

高数曲面积分。
计算I=∫∫S (x+2y+4z+5)²dS,其中S是八面体｜x｜＋｜y｜＋｜z｜≤1的表面。
谢谢。

Answer 1

z=√(a^2-x^2-y^2),zx’=-x/ √(a^2-x^2-y^2),zy’=-y/ √(a^2-x^2-y^2),
ds=√(zx’^2+zy’^2+1)dxdy= dxdy /√(a^2-x^2-y^2)
I=∫∫(x+2y+z)ds=∫∫(x+2y+√(a^2-x^2-y^2))* dxdy /√(a^2-x^2-y^2)
换元，x=r*cosθ,y=r*sinθ, dxdy=rdrdθ积分区间：0≤r≤a,0 ≤θ≤π/2,
原式I=∫∫(r*cosθ+2 r*sinθ+√(a^2-r^2))* rdrdθ /√(a^2-r^2)
=∫∫(r^2*cosθdrdθ /√(a^2-r^2)+2 ∫∫r^2*sinθdrdθ /√(a^2-r^2)+∫∫rdrdθ
=∫(cosθ+2sinθ)dθ∫(r^2* dr /√(a^2-r^2) +∫dθ∫rdr
=(sinθ-2cosθ)(0->π/2)*[-r/2*√(a^2-r^2)+1/2*a^2*arcsin(r/a)](0->a)+ π/2*1/2*r^2(0->a)
=3*π/4*a^2+π/4*a^2
=πa^2

Answer 2

使用对称性和轮换对称性简化计算

Answer 3

原式等于对（x²+4y²+16z²）积分，等于8倍的（x²+4y²+16z²）在第一卦限的积分，第一卦限内曲面方程是x+y+z=1。这样就能算了。结果是104√3