Question

如图△ABC为等边三角形,点O在∠ABC和∠ACB平分线的交点,OE⊥OB,OF⊥OC,垂足均为点O，问△AEF的周长与BC

长有什么关系？并证明

Answer 1

△AEF的周长=BC
∵ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=1/2∠ABC=1/2∠ACB=30°
∠BOC=120°
∵OE⊥OB,OF⊥OC
∴∠BOF+∠FOE=∠FOE+∠COE=90°
∠BEO=90°-∠OBC=60°
∠CFO=90°-∠OCB=60°
∴∠BOF=∠COE
△EOF是等边三角形
∴OF=OE=EF
∠EOF=60°
∴∠BOF=∠COE=(∠BOC-∠EOF)/2=(120°-60°)/2=30°
∴∠BOF=∠OBC=∠OBF
∠COE=∠OCB=∠OCE
∴OF=BF,OE=EC
∴BF=EF=EC=OF=OE
∴△AEF的周长
=OF+OE+EF
=BF+EC+EF
=BC

追问

∴∠BOF+∠FOE=∠FOE+∠COE=90°
是什么意思？

追答

∵OE⊥OB
∴∠BOF+∠FOE=∠BOE=90°
∵OF⊥OC
∴∠FOE+∠COE=∠COF=90°
∴∠BOF+∠FOE=∠FOE+∠COE=90°