Question

线性代数问题

设A，B为同阶方阵，且B可逆，若A为m次幂零阵，即存在m属于N，使A^m=0，证明:满足矩阵方程AX=XB的，只能是X=0

Answer 1

AX=XB两边左乘以A，得A^2X=AXB=(AX)B=(XB)B=XB^2，A^3X=A(XB^2)=(AX)B^2=(XB)B^2，由归纳法可得A^mX=XB^m=0，B可逆，所以X=0

Answer 2

令C=B的逆矩阵，则

AX=XB ==> X=AXC ,
由此迭代，可得 X=A^2XC^2=...=A^mXC^m=O.