Question

判断函数f(x)=lg[(根号下x^2+1)-x]的奇偶性和单调性

具体过程

Answer 1

是奇函数，因为F(-x)=lg(根号下x^2+1)+x]=lg[根号下x^2+1)+x][根号下x^2+1)-x]/[根号下x^2+1)-x]=lg[1/[根号下x^2+1)-x]=-lg[根号下x^2+1)-x]=-f(x)所以是奇函数
当x>0时，f(x)=lg[(根号下x^2+1)-x]=lg{1/[(根号下x^2+1)+x]而1/[(根号下x^2+1)+x]显然随x增大而减小，y=lgx是增函数，所以f(x)=lg[(根号下x^2+1)-x]=lg{1/[(根号下x^2+1)+x]在（0，+无穷）上是减函数，而函数f(x)=lg[(根号下x^2+1)-x]是奇函数，而奇函数在对称的区间上单调性相同，所以f(x)=lg[(根号下x^2+1)-x]在R上单调递减

Answer 2

∵根号（x^2+1)-x≥1，∴f（x）定义域是R
∵1/[根号(x^2+1)+x]=根号（x^2+1)-x，∴f（x）是奇函数
当X≤0，y=根号（x^2+1)-x，随x减小而增大，是减函数，∴f（x）在此区间也是减函数
又∵f（x）是奇函数，∴当x≥0时，f（x）也是减函数
综上，f（x）是奇函数，在[0,+无穷)区间是单调递减函数,在（-无穷，0]区间也是单调递减函数

注意：两个区间要分开写，不能合并成x∈R，f（x）是单调递减函数

Answer 3

因为x=根号下x^2，所以f(x)=lg【(........)-根号下x^2】，而根号下x^2=lg 10(根号下x^2，所以f(x）=lg ( 根号下x^2+1)-lg 10(根号下x^2）=lg (根号下x^2=+1/10 （根号下x^2），因为，都有x^2，所以代入x和-x的值是相等的，即f(x)=f(-x),为偶函数。

令f(x)=lg (u)-x,u=根号下x^2+1,x属于R,因为g(x)=x^2+1在（负无穷，0）上单减，在（0,正无穷)上单增，所以u的单调性也是如此，又因为f(x)=lg (u)-x单增。所以推得f(x)=[(根号下x^2+1）-x]在（负无穷，0）上单减，在（0，正无穷）上单增。