Question

设0<a<1,函数f(x)=log(x-3/x+3)的定义域为[m,n]，值域为[以a为底的a(n-1)的对数,以a为底的a(m-1)的对数]

求a的取值范围

Answer 1

y=loga(x-3﹚/﹙x+3)的定义域为﹙﹣∞.﹣3﹚∪﹙3,﹢∞﹚
∵函数f(x)=log(x-3/x+3)的定义域为[m,n]，值域为[loga[a(n-1)],loga[a(m-1)]]

∴a(m-1)＞0

∴m-1＞0

∴m＞1

∴n＞m＞3

f(x)=loga(x-3﹚/﹙x+3)=loga[1-6/﹙x+3)]在[m，n]递减

∴loga(m-3﹚/﹙m+3)=loga[a(m-1)]

∴(m-3﹚/﹙m+3)=a(m-1)

∴a=(m-3﹚/[﹙m+3)(m-1)]
=(m-3﹚/[﹙m-3)²＋8(m-3)＋12]
=1/[﹙m-3)＋8+12／(m-3)]

≤1/(4√3+8）=（2-√3）/4

即a∈（0，（2-√3）/4].