Question

求由方程x平方加y平方加z平方减2x加2y减4z减10等于零确定的函数z＝f（x,y

求由方程x平方加y平方加z平方减2x加2y减4z减10等于零确定的函数z＝f（x,y）的极值

Answer 1

对x求偏导：2x+2zZ'x-2-4Z'x=0
得：Z'x=(1-x)/(z-2)
同理得Z'y=(1-y)/(z-2)
由Z'x=0,Z'y=0,得x=1,y=1
将其代入原方程得：1+1+z²-2-2-4z-10=0
得：z²-4z-12=0
(z+2)(z-6)=0
z=-2,6
Z"xx=[-(z-2)-(1-x)Z'x]/(z-2)²
Z"xy=-(1-x)/(z-2)²
Z"yy=[-(z-2)-(1-y)Z'y]/(z-2)²
当x=1,y=1,z=-2时,A=Z"xx=-1/(z-2)=1/4,B=Z"xy=0,C=Z"yy=-1/(z-2)=1/4; AC-B²=1/16>0,A>0,因此这是极小值点；
当x=1,y=1,z=6时,A=Z"xx=-1/(z-2)=-1/4,B=Z"xy=0,C=Z"yy=-1/(z-2)=-1/4;AC-B²=1/16>0,A<0，因此这是极大值点。