Question

向量方法证明线面垂直

正方体ABCD-A1 B1 C1 D1，E、F分别是B1 B和DC的中点。证明AE⊥面A1 F D1

为什么不能证明出AE⊥A1 F

Answer 1

建立坐标系，A为原点，AB方向为x轴正向，AD方向为y轴正向，AA1方向为z轴正向。
则E=(1,0,1/2),所以AE=(1,0,1/2),
又A1=((0,0,1),F=(1/2,1,0),所以A1F=(1/2,1,-1).
AE·A1F=(1/2)+0+(-1/2)=0.
所以AE⊥A1F-----①。

又A1D1⊥面ABA1B1,所以A1D1⊥AE,
即AE⊥A1D1------②

由①、②得AE⊥面A1 F D1。

Answer 2

事实上我们只要做个平移就OK啦
把AE移到DCC1D1面，A点与F点重合，一眼就知道AE垂直于D1F
再由此图为正方体，所以D1A1垂直于面ABB1A1，那么D1A1就垂直于AE
那么AE就垂直于面A1D1F
从而AE垂直于A1F

至于向量方法我就不说了，反正只有一个思路，就是建标，作出先关向量，再根据垂直的充要条件进行计算，然后就可得出结果

计算要细心

Answer 3

如果你能证明面和向量垂直，面内所有的线都和这个向量垂直，所以A1F和AE应该垂直，谁说不能证明的？

追问

可是我算了半天，他们的数量积不为0

追答

估计你算错了