Question

已知函数f(x)=[a/(a²-2)]*(a^x-a^-x)(a>0且a≠1)是R上的增函数,求a的取值范围。

要求用导数求解，过程必须详细。

Answer 1

求其导数：

f(x)=[a/(a²-2)]*(a^x-a^-x)
f'(x)=[a/(a²-2)]ln(a)(a^x+a^-x)
若使f(x)为增函数，f'(x)>0

所以[a/(a²-2)]*ln(a)(a^x+a^-x)>0
因： (a^x+a^-x)>0

所以 [a/(a²-2)]*ln(a)>0

解不等式组：
a/(a²-2)>0

ln(a)>0
a>0且a<>1

a/(a²-2)<0
ln(a)<0
a>0且a<>1

最后得：0<a<1 或 a>√2

追问

f'(x)=[a/(a²-2)]ln(a)(a^x+a^-x)

中的ln(a)是什么意思

追答

自然对数 以e为底的对数。

Answer 2

f'(x)=[a/(a²-2)]*(a^x*lna+a^-x*lna)=[alna/(a²-2)]*(a^x+a^-x) 把lna放到前面去 此式恒大于等于0
后面括号>0，不用考虑
alna/(a^2-2)>=0
即lna/(a^2-2)>=0
当0<a<2^0.5时，lna<=0，得0<a<1
所以0<a<1
当a>2^0.5时,lna>=0，得a>1
所以a>2^0.5
综上，0<a<1或a>2^0.5