Question

微积分 极限 如图

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Answer 1

1.
x→0
lim √(1-cosx) / sinx
利用等价无穷小：sinx~x，1-cosx~x^2/2
=lim √(x^2/2) / x
=√(1/2)*lim √(x^2)/x
右极限：
=√(1/2)*lim √(x^2)/x
=√(1/2)*1
=√2/2
左极限：
=√(1/2)*lim √(x^2)/x
=√(1/2)*(-1)
=-√2/2
因为左右极限存在但不相等，故原极限不存在

2.
x→1
lim (1/(1-x) - 1/(1-x^3))
=lim ( 1/(1-x) - 1/(1-x)(1+x+x^2) )
=lim (1+x+x^2-1) / (1-x)(1+x+x^2)
=lim (x+x^2) / (1-x)(1+x+x^2)
x+x^2趋于2，1-x^3趋于0
故，原极限不存在

有不懂欢迎追问

Answer 2

用洛必达法则
（1）lim[√(1-cosx)/sinx]
=lim[√(2sin²t)/(2sintcost)] (x=2t)
=√2/2lim[|sint|/(sintcost)]
当t->-0时（左趋近），sint<0
原式=√2/2lim[-1/cost]
=√2/2*(-1)
=-√2/2
当t->+0时（右趋近），sint>0
原式=√2/2lim[1/cost]=√2/2
（2）lim[1/(1-x)-1/(1-x³)]
=lim[(1+x+x²-1)/(1-x³)]
=lim[(x+x²)/(1-x³)]
=lim[(1+2x)/(-3x²)]
=(1+2)/(-3)
=-1

Answer 3

1、分别求左右极限，结果极限不存在。
2、同1