Question

如图,在三角形ABC中,AD是角BAC的角平分线,AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F试说明四边形AEDF是菱形。

Answer 1

∵EF是AD的垂直平分线
∴AE=ED,AF=FD ∠EAD=∠EDA ∠FAD=∠FDA
又∵AD是角BAC的角平分线
∴∠EAD=∠FAD 即：∠EAD=∠EDA =∠FAD=∠FDA
∴∠EAF=∠EDF
而AE=ED, AF=FD AD=AD
∴△AED≌△ AFD ∴AE=AF
∴AE=ED=AF=FD 又∵ AD⊥EF
∴四边形AEDF是菱形

Answer 2

在三角形ABC中,AD是角BAC的角平分线,AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F试说明四边形AEDF是菱形。

AD是角BAC的角平分线,<EAD=<FAD
EF是AD的垂直平分线,<ADE=<ADF
AD=AD
所以三角形ADE,ADF全等.
EF与AD互相垂直平分, AE=AF
同理可证AF=FD,FD=ED,AE=ED
四边形四边相等,所以是平行四边形,且EF与AD互相垂直平分,所以是菱形

Answer 3

设AD，EF交于O，
（1）∴EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF。

（2）由AD平分∠BAC，AO是公共边，
∴△AEO≌△AFO（ASA）

∴AE=AF，

即AE=ED=DF=FA，
∴四边形AEDF是菱形。

Answer 4

∵E、F都在AD的中垂线上，∴AE＝DE、AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA、∠FAD＝∠FDA，
而∠EAD＝∠FAD，∴∠EDA＝∠FDA，又AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝DE＝DF，∴AEDF是菱形。