Question

积分区间[0,派]被积函数为根号下1-sinx，请问为什么不能用换元法将sinx=u来做（这样做积分为0）和答案不符

Answer 1

你要注意sinx,对于反函数是在[-π/2,π/2]区间内,你若用sinx=u换元,必须分两个区间积分,[0,π/2],[π/2,π],
u=sinx,在[0,π/2]内,x=arcsinu,dx=du/√(1-u^2),x=0,u=0,x=π/2,u=1
在[π/2,π]区间内,x=π-arcsinu,dx=-du/√(1-u^2),x=π,u=0,(注意这里差了一个负号!)
原式=∫ [0,1]√(1-u)du/√(1-u^2)+∫ [1,0](-√(1-u)du/√(1-u^2)
=∫[0,1]du/√(1+u)-∫[1,0]du/√(1+u)
=∫[0,1]du/√(1+u)+∫[0,1]du/√(1+u)
=2∫[0,1]d(1+u)/√(1+u)
=2(1+u)^(-1/2+1)/(-1/2+1)[0,1]
=4√(1+u)[0,1]
=4√2-4.

Answer 2

令sinx=u，x=arcsinu, dx= 1/根号（1-u^2) , 根号下1-sinx=根号（1-u）
根号下1-sinx的不定积分就变成
根号（1-u）/（根号（1-u^2) = 1/根号（1+u）的积分
= 2根号（1+u）+c
= 2根号（1+sinx）+c

追问

如果对这个积分结果在【0，派】上计算，结果就是0！可是正确答案却不是，请问您这是为什么，很是头疼啊！觉得这样解没什么问题，可是答案就是不对！

追答

(1+sinx)(1-sinx)=(cosx)^2
|cosx| = [√(1-sinx)]*[√(1+sinx)]
[√(1-sinx)]=|cosx| / [√(1+sinx)]
在[0，π/2}，
[√(1-sinx)]=|cosx| / [√(1+sinx)]=cosx / [√(1+sinx)]
此时定积分是2[√(1+sinx)]在[0，π/2]的值：2√2-2
在[π/2，π]，
[√(1-sinx)]=|cosx| / [√(1+sinx)]= - cosx / [√(1+sinx)]
此时定积分是2[√(1+sinx)]在[π/2，π]的值：2√2-2

[√(1-sinx)]在[0，π]上的定积分是）2√2-2）+（2√2-2）=4√2-4

Answer 3

原式=x+cosx=派

追问

被积函数是根号下1-sinx，也就是√1-sinx

Answer 4

-sinx有原函数cosx,为什么不直接积分而要走弯路？

追问

被积函数是根号下1-sinx，有根号的存在

追答

把1-sinx=(sinx/2-cosx/2)^2去掉根号