Question

1)已知x+2y=1，求x²/2y+4y²/x的最小值 2)直角三角形ABC的周长为6，a，b为直

1)已知x+2y=1，求x²/2y+4y²/x的最小值
2)直角三角形ABC的周长为6，a，b为直角边，求斜边c的最小值

Answer 1

(1)
依柯西不等式得
x²/2y+4y²/x
=(2y+x)(x²/2y+4y²/x)
≥(x+2y)²
∴x²/2y+4y²/x≥x+2y=2，
当x:2y=2y:x且x+2y=2，
即x=1，y=1/2时，
所求最小值为2.

(2)
a、b为直角边，c为斜边，则
a²+b²=c²，
依柯西不等式得
(1²+1²)(a²+b²)≥(a+b)²
即2c²≥(6-c)²
解得，c≥-6+6√2，c≤-6-6√2(舍).
故a=b=(6-c)/2=6-3√2时，
斜边c最小值为-6+6√2。

Answer 2

1)当x=2y即x=1/2,y=1/4时x^2/2y+4y^2/x有最小值(1/4)/(1/2)+(1/4)/(1/2)=1;
2)a+b+c=6,设a的对角为A，则a=csinA，b=ccosA,化为c(1+sinA+cosA)=c[1+√2(√2sinA/2+√2cosA/2)]=c[1+√2(sinAcos45+cosAsin45)]=c[1+sin(A+45)]=6,
而sin(A+45)≤1,即a+b+c≤c(1+√2)，
即6≤c(1+√2)，
c≥6/(1+√2)，
也即c≥6(√2_1)

追答

故斜边c的最小值为6(√2_1)

Answer 3

1

追问

等等，第一题是x+2y=2

然后你是怎么做的？