Question

高数极限求解详细过程

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一共四道题求解
一共悬赏80分





Answer 1

1.利用平方和公式
1^2+..+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
然后分子分母同除n^3
1*(1+1/n)(2+1/n)/6
= ---------------------------
2+1/n+1/n^3
取极限
1*1*2/6
= -------------------
2+0+0
=1/6

2.等价无穷小替换，
t->0,sint~t
n->无穷
x/2^n->0
sin(x/2^n)~x/2^n

lim 2^n sin(x/2^n)
=lim 2^n*x/2^n
=x

3.重要极限
lim (1+1/t)^t=e, t->正或者负无穷
((2x-1)/(2x+3))^(x+1)
=[1-4/(2x+3)]^(x+1)
=[1-1/(x/2+3/4)]^(x+1)
={ [1+1/(-x/2-3/4)]^[-x/2-3/4] }^[(x+1)/(-x/2-3/4)]
底数的极限是e，因为-x/2-3/4->负无穷
指数极限是=(1+1/x)/(-1/2-3/(4x))=-2
所以
极限=e^(-2)

4.令y=(cosx)^(1/x^2)
lny=ln cosx/x^2
右端 0/0
所以罗比达
=(1/cosx)*(-sinx)/(2x)
=sinx/x *1/(-2cosx)
取极限
=[lim x->0 sinx/x ]* [lim x->0 (1/(-2cosx))]
=1*(-1/2)
=-1/2
所以lim x->0 lny=-1/2
lim x->0 y=e^[lim x->0 lny]=e^(-1/2)

追问

第三题的指数极限还不懂！

追答

就是底数部分是个极限
[1+1/(-x/2-3/4)]^[-x/2-3/4]

你用t=-x/2-3/4
就是(1+1/t)^t, t->负无穷
极限是e
指数就是
(x+1)/(-x/2-3/4)=(1+1/x)/(-1/2-3/(4x))=(1+0)/(-1/2-0)=-2

和在一起就是e^(-2)

Answer 2

lim(n→∞) (1^2+2^2+...+n^2)/(2n^3+n^2+1)
=lim(n→∞) 1/6*n(n+1)(2n+1)/(2n^3+n^2+1)
=1/6

lim(n→∞) 2^nsin(x/2^n)
=lim(n→∞) 2^n*(x/2^n)
=x

lim(x→∞) [(2x-1)/(2x+3)]^(x+1)
=lim(x→∞) [1-4/(2x+3)]^(x+1)
=lim(x→∞) [1-4/(2x+3)]^[2*(2x+3)/4-1/2]
=lim(x→∞) [1-4/(2x+3)]^[2*(2x+3)/4]*lim(x→∞) [1-4/(2x+3)]^(-1/2)
=lim(x→∞) {[1-4/(2x+3)]^[-(2x+3)/4]}^(-2)
=1/e^2

取自然对数得
lim(x→0) lncosx/x^2
=lim(x→0) -sinx/cosx*1/(2x)
=-1/2
所以
lim(x→0) (cosx)^(1/x^2)
=lim(x→0) e^(lncosx/x^2)
=e^(-1/2)