Question

概率论与数理统计问题，例题3-3，为什么要求x的绝对值乘f（x）？而不是用x？

Answer 1

柯西分布是连续型的,对连续型随机变量来说,数学期望的定义是这样的：
设X是一个连续型随机变量,f(x)是其概率密度,若xf(x)在负无穷到正无穷上的广义积分是绝对收敛的,则称此积分值为随机变量X的数学期望,记为E(X)。
对柯西分布来说,定义中涉及到的那个广义积分不是绝对收敛的,所以我们说柯西分布的数学期望不存在。
是不是绝对收敛,要看看将被积函数取绝对值后得到的新的积分是否收敛,若收敛就是绝对收敛,若不收敛,就不是绝对收敛的。
你所看到的它加绝对值其实就是表达这样的一个意思。
就是第一步先验证它的广义积分是否收敛，能否谈期望这件事，然后第二步再具体考虑求法。
这两步是必要的，打个比方，自然数为总样本，n的概率为1/n^2*（6/pi^2），括号里是为了所有概率加起来为1，其实就看做为1/n^2就好，这时候期望就是不存在的，因为Σ1/n为正无穷。即使我们扩展到负整数域上两个绝对值相同的数平分对应的概率也是不行的。
这个题反直觉的地方是正负数概率相同，但是期望为0的基础是首先要符合期望的定义。

追问

谢谢！

Answer 2

很简单，因为数学期望的定义是“如果级数绝对收敛，则称该级数为其数学期望”。
绝对收敛的定义：如果|an|的无穷级数收敛，称an绝对收敛，此时an的无穷级数一定收敛(an属于R，不拘泥于正数)

所以要在x上加个“| |”（绝对值），因为只有证明绝对收敛存在，才能证明期望存在。