如图,在Rt三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC
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(1) 证明,因为三角形是等腰直角三角形,所以,角BCE=45度,
由题得,角BGD=角FGE=45度,又角GBD=角CBE
所以,三角形GBD相似于三角形CBE
所以,BD/BE=BG/BC, 即, BD*BC=BG*BE
(2) 因为,AD垂直BC, 所以,由射影定理,AB^2=BD*BC
所以,BG*BE=AB*AB, 即,AB/BE=BG/AB, 又,角ABE=角GBA
所以,三角形ABE相似于三角形GBA
所以,角AGB=角EAB=90度, 所以, AG垂直于BE
(3) 设AB=AC=2a, 则,BC=2a根号2, 因为,E为AC之中点,所以,AE=a
由射影定理,AE^2=GE*BE, 又BE=(根号5)*a,
所以,a^2=GE*(根号5)*a, 所以,GE=a/根号5
易证得:三角形FGE相似于三角形FCD
所以,EF/FD=GE/CD=(a/根号5)/(a*根号2)=1/根号10
由题得,角BGD=角FGE=45度,又角GBD=角CBE
所以,三角形GBD相似于三角形CBE
所以,BD/BE=BG/BC, 即, BD*BC=BG*BE
(2) 因为,AD垂直BC, 所以,由射影定理,AB^2=BD*BC
所以,BG*BE=AB*AB, 即,AB/BE=BG/AB, 又,角ABE=角GBA
所以,三角形ABE相似于三角形GBA
所以,角AGB=角EAB=90度, 所以, AG垂直于BE
(3) 设AB=AC=2a, 则,BC=2a根号2, 因为,E为AC之中点,所以,AE=a
由射影定理,AE^2=GE*BE, 又BE=(根号5)*a,
所以,a^2=GE*(根号5)*a, 所以,GE=a/根号5
易证得:三角形FGE相似于三角形FCD
所以,EF/FD=GE/CD=(a/根号5)/(a*根号2)=1/根号10
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