Question

已知随机变量X与Y相互独立,且X的概率函数为P(X=-1)=P(X=1)=0.25,P（X=0）=0.5，随机变量Y服从B(1,1/3),求

（1）二维随机变量（X，Y）的概率函数
（2）E（XY）
（3）Z=X+Y的概率函数

Answer 1

　　解：(1)∵Y~B(1,1/3)，∴P(y=0)=1-1/3=2/3，P(y=1)=1/3。又，X，Y相互独立，∴(X,Y)概率函数P(X,Y)=P(X)P(Y)。即P(X=-1,Y=0)=P(X=-1)P(Y=0)=0.25*2/3=1/6，P(X=-1,Y=1)=P(X=-1)P(Y=1)=0.25*1/3=1/12，P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.5*2/3=1/3，P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=0.5*1/3=1/6，P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)=0.25*2/3=1/6，P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=0.25*1/3=1/12，
　　(2)E(X)=∑kP(X=k)=-1*0.25+0*0.5+1*0.25=0，E(Y)=∑kP(Y=k)=0*2/3+1*1/3=1/3，又∵X、Y相互独立，∴E(XY)=E(X)E(Y)=0。
　　(3)∵Z=X+Y，其值为Z=-1,0,1,2，∴P(Z=-1)=P(X=-1)P(Y=0)=0.25*2/3=1/6、P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=-1)P(Y=1)=0.5*2/3+0.25*1/3=5/12、P(Z=1)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)=0.25*2/3+0.25*2/3=1/3，P(Z=2)=P(X=1)P(Y=1)=0.25*1/3=1/12。供参考。