Question

拉普拉斯方程的三维方程

Answer 1

泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程，只有带电体的场呈“球、柱”形对称时，三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解。
拉普拉斯方程的基本解满足
其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有
所以
经过类似的推导同样可求得二维形式的解 格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足
现设u为在V内满足泊松方程的任意解:
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到
un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将上式化简为
所以格林函数描述了量f和g对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。于是可得格林函数为
式中R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为： 这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。