Question

如图已知AB是圆O的直径，F为圆O上一点，AC平分∠BAF且交圆O于点C，过点C作CD⊥AF于点D 延长AB、DC交于点D

如图，已知AB是圆O的直径，F为圆O上一点，AC平分∠BAF且交圆O于点C，过点C作CD⊥AF于点D,延长AB、DC交于点E,连接BC、CF.(1)求证:CD是圆O的切线;(2）若AD=6，DE=8.求BE的长;(3)求证:AF+2DF=AB。

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Answer 1

连接OC，OF
1）由于OC，OA都是圆半径，所以∠OAC=∠OCA，又因为∠OAC=∠CAD（AC平分∠BAF）
所以∠OCA=∠CAD，即OC与AD的内错角相等，所以OC平行于AD。又因为AD垂直ED，所以OC垂直ED，所以CD是切线

2）由勾股定理和DE=8，AD=6 可得 BE+2R=10
三角形EQC相似于三角形EAD，于是：
（BE+R）/R = (BE+2R)/AD =5 /3
综合上两式，解方程组可得： R=3.75，BE=2.5

3）延长BC与AD交于G
由于OA，OF都是圆半径，所以∠OAF=∠OFA，由于OC平行于AF，所以∠OFA=∠COF，∠BOC=∠OAF
由这三个等式可得 ∠BOC=∠COF，BC和CF都是圆的弦且对应中心角相同（∠BOC=∠COF），所以BC=CF
由于三角形BCO与三角形BGA相似且BO=OA，所以BC=CG，代入BC=CF可得 CG=CF
可知三角形CGF是等腰三角形
由于CG=CF且CD⊥FG，所以DF=DG，即AG=AF+2DF
由于AB为圆直径且C为圆上的点，所以∠BCA=90°=∠ACG，又由于AC平分∠BAF，所以三角形ABC与三角形AGC全等，即AG=AB，
即证得AB=AF+2DF