Question

如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=4,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F。

（1）求证：BE·CD=BD·BC；
(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的解析式，并写出定义域；
（3）如果AD=4，求线段BF的长。

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴ CB/CD=BE/DB．
即BE•CD=BD•BC．

（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴ FC/CB=CB/BD，
∵BD=AB﹣AD=12﹣x，
∴ FC/6=6/(12-X)，
∴FC=36/(12-X)
∵AF=AC﹣CF，
∴ Y=12-36/(12-X)，
∴y关于x的函数解析式是Y=(108-12X)/（12-X） ，定义域为0≤x≤9．

（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H
∴ COS∠ACG=CH/CF=CG/AC，
∵AD=3，CF=36/(12-3)=4，CG=1/2 BC=3 ．
∴ CH/4=3/12，
∴CH=1．
∴FH2=CF2﹣CH2=16﹣1=15．
∵BH=BC﹣CH=6﹣1=5，
∴BF=√(BH2+FH2) =√(25+15)=2√10．

Answer 2

n