Question

已知幂函数f(x)=x^（m-3）(m∈N*)在(0,+无穷)上是减函数，求函数f(x)的解析式

已知幂函数f(x)=x^（m-3）(m∈N*)在(0,+无穷)上是减函数，求函数f(x)的解析式 并讨论函数f(x)的单调性与奇偶性
答得好的加分.求速度 谢谢啦

Answer 1

f'(x) = (m-3)x^(m-4) <= 0
故1<= m < 3 , m=1或2
即f(x)=1/x 或 1/x^2
m=1时，f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x) 故f(x)=1/x 在R上是奇函数
m=2时，f(-x) = 1/(-x)^2 = 1/x^2 = f(x) 故f(x)=1/x^2在R上是偶函数

追问

谢谢 那单调性呢?

追答

对于f(x)=1/x
f'(x) = -1/x^2 <0 但在x=0无定义，所以在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
对于f(x)=1/x^2
f'(x) = -2/x^3 在x=0一样无定义，故在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减

Answer 2

m∈N* 说明m是正整数。再看：这是个减函数，所以m-3<0（如果m-3=0，f(x)=1；如果m-3>0，f(x)=x, x^2, x^3 等等，都是增函数了。），也就是m<3。 这样一来m只能等于1或者2了，而且这两个都有可能。那你分别把这两个数代进去，说说他们分别是增函数还是减函数，分别是奇函数还是偶函数就行了。