Question

已知边长为a的正方形ABCD,点E、F分别在AD、CD上,角EBF=45°,求三角形EBF面积的最小值

Answer 1

以下用“^2” 代表“2次方”
△EBF的面积 = ( a * ED + a * FD - ED * FD ) / 2
设 ∠ABE=x
ED = a - a·tan(x)
FD = a - a·tan(45°-x) = 2a·tan(x) / [1+tan(x)] （用tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）公式展开）
所以 △EBF的面积 = (a^2/2) * [1+tan(x)^2] / [1+tan(x)]
其中 [1+tan(x)^2] / [1+tan(x)]
= tan(x) + [1-tan(x)] / [1+tan(x)]
= tan(x) - 1 + 2 / [1+tan(x)]
= [1+tan(x)] + 2 / [1+tan(x)] - 2
由基本不等式 a+b >= 2√(ab) ，当且仅当a=b时等号成立
得 [1+tan(x)] + 2 / [1+tan(x)] - 2 >= 2 √2 - 2
所以 △EBF的面积 >= (√2-1) * a^2 ，即△EBF面积的最小值为 (√2-1) * a^2

当且仅当 1+tan(x) = 2 / [1+tan(x)] ，即 tan(x) = √2 - 1 时等号成立

Answer 2

1、当E点与A点重合，F点与D点重合时，三角形EBF面积最大a²／2
2、当E点为AD的中点，F点为DC的中点时，三角形EBF面积最小
最小值=a·a－2×1/2·a·1/2a-1/2a·1/2a=a²／4
希望满意采纳。

追问

有没有具体过程

追答

这还不清楚？！

追问

要说明为什么中点时最小

Answer 3

的