Question

以知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(-2,1)离心率e=1/2,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆于PQ两点,

PQ长为24/7时求直线PQ的方程
求详解。。。

Answer 1

设椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1

e=c/a,c²=a²-b²
1/2=c/a
c²=a²/4
a²/4=a²-b²
b²=3/4a²

把左顶点坐标代进去：1＝(-2)²/a²+1/(3/4a²)
a²=16/3,b²=4
椭圆的方程为：x²/(16/3)+y²/4=1
c²=a²/4=4/3,c=2√3/3
右焦点坐标(2√3/3,0)

设PQ方程为y=K(x-c)
设P(x1,y1),Q(x2,y2)

把椭圆方程整理得：3x²+4y²=16

3x1²+4y1²=16
3x2²+4y2²=16
两式相减：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
3(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)

3(x1+x2)/(y1+y2)=-4(y1-y2)/(x1-x2)=-4K (1)

由焦半径得知：

PF=a-ex1
FQ=a-ex2

PQ=2a-e(x1+x2)

24/7=2*√16/3-1/2*(x1+x2)

x1+x2= 16/21*(7√3-9)

根据直线方程 y =K(x-c)
y1+y2=K(x1+x2-2c)
y1+y2=(4√3-48/7)K

代入式（1）

3*(16/21*(7√3-9))/(4√3-48/7)K)=-4K

解得：
K无解

当PQ过F垂直于X轴时，长度为2√3，也不符合要求。

K无解，是题错了，还是计算有误？

Answer 2

由题得，a=2，c/a=1/2，所以b^2=3，则椭圆的方程为（x^2）/4+(y^2)/3=1
(2)设pq方程为y=k(x_1)3x²+4y²=12
3x1²+4y1²=12
3x2²+4y2²=12
两式相减：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
3(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)
3(x1+x2)/(y1+y2) =-4(y1-y2)/(x1-x2)=-4K (1)
由焦半径得知：
PF=a-ex1
FQ=a-ex2
PQ=2a-e(x1+x2) x1+x2=8/7
根据直线方程 y =K(x-1)
y1+y2=K(x1+x2-2）
代入式（1）
解得k=正负一