Question

已知椭圆的中心在原点，离心率为1/2,一个焦点F（-m,0)（m>0)，

已知椭圆的中心在原点，离心率为1/2，一个焦点是F(-m,0)（m是大于0的常数），设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线L与y轴交于点M，若模长|MQ|=2|QF|，求直线L的斜率

Answer 1

由焦点满坐标F知，椭圆焦半距c=m，因离心率e=1/2，得长半轴 a=c/e=2*m；
从Q向椭圆左准线x=-a^2/c=-4m作垂线交于B，反向交y轴于Q'；
则 QB=QF/e=2QF=MQ，QQ'=4m-QB=4M-2QF；
如图示,按三角形相似可求得QQ'=(2/3)*FO=2c/3=2m/3;
4m-2QF'=2m/3,QF=5m/3;
在三角形AFO中,AF=3QF=5m,FO=c=m,则MO=(25m^2-m^2)=2√6m；
直线l:FQA的斜率=MO/FO=2√6m/m=2√6；
另有与y轴反方向相交的直线l’斜率为-2√6；

追问

呢我们老师讲的为啥是1呢？

追答

过左焦点F斜率为1的直线与y轴交点纵坐标是±c=m，此时M位于椭圆内，不满足|MQ|=2|QF|要求。

L与y轴的交点位于椭圆内时（F在Q、M中间），只有当Q位于左顶点(-2m,0)时符合要求，此时|MQ|=a=2m，|QF|=c=m，直线L斜率是0，这个我首次回答漏掉了；

现将示意图重新传上，首次百度网络给折腾了八个多小时，一直说在提交中，最后查也没传接。

首次次回答中有些文字错误，更正如下：

      QB=QF/e=2QF=MQ，QQ'=4m-QB=4m-2QF；
如图示,按三角形相似可求得QQ'=(2/3)*FO=2c/3=2m/3;

4m-2QF=2m/3,QF=5m/3;

在直角三角形MFO中,MF=3QF=5m,FO=c=m,则MO=√(25m^2-m^2)=2√6m；

直线L:FQM的斜率=MO/FO=2√6m/m=2√6；

另有与y轴反方向相交的直线L’斜率为-2√6；