Question

大一数学：极限与连续习题求解！

Answer 1

1. 原式=lim (1-x)/cot(πx/2)
=lim -x/{[-csc²(πx/2)][π/2]}
=lim (2x/π)*sin²(πx/2)
=2/π。。。。当x→1时，过程用洛比达法则
2. f(x)有界：存在M>0，对任意的定义域中的x，有|f(x)|≤M
f(x)无界：对于任意的M>0，存在x0,使得|f(x0)>M
对于f(x)=y=(1/x²)sin(1/x)
任取M>0，存在[2kπ+(π/2)]²>M,（k是某一整数），则取 x0=1/[2kπ+(π/2)]，
就有f(x0)=[2kπ+(π/2)]²sin[2kπ+(π/2)]=[2kπ+(π/2)]²>M，所以y无界。

而当x→0+时，取两个数列xn=1/[2nπ+(π/2)], yn=1/2nπ，则当n→∞时，xn→0+, yn→0+
但是此时f(xn)=[2nπ+(π/2)]²→∞（n→∞）
f(yn)=0→0，（n→∞）
于是可知当x→0+时，lim y极限不存在，所以不是无穷大！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

1、原式=lim sinπx/2 *（1-x）/cosπx/2
=lim（1-x）/cosπx/2（因为lim sinπx/2=1）
=lim -1/[-π/2sinπx/2]（洛必达法则）
=2/π

2、令x=1/（π/2+2kπ），当k→无穷大时，x→0，此时y=(π/2+2kπ)²→无穷大，函数y无界
但是当x=1/（2kπ），k→无穷大时，x同样趋于0，此时y=0,
因此当x趋于0时，函数极限不存在，