Question

关于线性变换，一一对应，映射的证明题

证明：设有一个线性变换T，这个T会把任意一个线性无关的向量x，x属于U，变换之后对应到另一个线性无关的向量y，y属于V。那么我们说T必须是1-1（单射）
证明：设有一个线性变换T，这个T会把任意一个线性张成的向量x，x属于U，变换之后对应到另一个线性张成的向量y，y属于V。那么我们说T必须是映成（满射？）

Answer 1

(1) 设a,b属于U, 且 T(a)=T(b).
假如 a≠b, 则 a-b≠0, 故非零向量 a-b 线性无关
由已知条件 T(a-b) 也线性无关
即有 T(a-b)=T(a)-T(b)≠0
这与T(a)=T(b)矛盾
所以必有a=b. 故T是单射.

(2) 设a1,...,as 是U的一组生成元
由已知 T(a1),...,T(as) 是V的一组生成元.
所以对V中任一元b, 有
b=k1T(a1)+...+ksT(as)=T(k1a1+...+ksas)
所以b有原像k1a1+...+ksas.
所以T是满射.