Question

已知，如图△ABC中,∠B=2∠C，求证：AC^2=AB^2+AB*BC 写的简单一点，谢谢

Answer 1

首先
sinA=sin3C=3sinC-4sin³C
那么 BC/AB=sinA/sinC=3-4（sinC）^2=1+2cos2C=1+2cosB
那么 BC=AB（1+2cosB）=AB+2ABcosB
根据余弦定理 AC^2=AB^2+BC^2-2AB BC cos B=AB^2+BC(BC-2ABcos B)=AB^2+AB*BC

追问

没学过余弦定理

追答

没关系，不用余弦定理，相似形可以吧
作角B的角平分线交AC与D
那么角ABD=角DBC=角C =》CD=BD
三角形ABD相似于三角形ACB
AD/AB=AB/AC=BD/BC =》AB^2=AD*AC AC*BD=AB*BC
AC^2=AC(AD+DC)=AC*AD+AC*CD=AB^2+AB*BC

追问

内个..相似也没学

追答

那就这样，作AH垂直BC于H，在HC上取一点E ，使得AE=AB，连接AE
因为AE=AB AH垂直BC 所以 BH=DH
2角C=角B=角AEB=角C+角EAC => 角C=角EAC =>CE=AE=AB

AC^2=AH^2+HC^2=AB^2-BH^2+HC^2=AB^2+(BH+CH)(CH-BH)=AB^2+BC（CH-DH）=AB^2+BC*CE=AB^2+BC*AB

哎呀，什么都没学过，累死我了

Answer 2

sinB=sin2C=2sinCcosC
sinB=2sinCcosC两边同时乘以R，得
b=2ccosC=2c*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
得ab^2=ca^2+cb^2-c^3
ab^2-cb^2=c(a^2-c^2)
(a-c)b^2=(a+c)(a-c)c
b^2=ac+c^2
所以AC^2=AB^2+AB*BC

追问

内些符号看不懂，还没有学，有没有简单一点的方法？