Question

设(X,Y)服从区域G={(x,y)/0<x,y<2}上的均匀分布，求X与Y至少有一个小于1的概率

设(X,Y)服从区域G={(x,y)/0<x,y<2}上的均匀分布,求X与Y至少有一个小于1的概率...求过程

Answer 1

先写出(X,Y)的联合概率密度
p(x,y)=1/4 (x,y)∈G
0 其他
则P(X与Y至少有一个小于1)
=1-P(X≥1，Y≥1)
=1-∫∫[x>1,y>1] p(x,y)dxdy
=1-∫∫[1≤x<2,1≤y<2] 1/4dxdy
=1-1/4
=3/4
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

那能不能再帮我看看这道题目，我会追加分数的，谢谢......设X~U（0,1），Y~U（0,1），且X与Y相互独立，求关于Z的二次方程Xz^2+z+Y=0有实根的概率

追答

用Δ判别法就行，要有实根，要求Δ=1-4XY≥0，即XY≤1/4
因为X~U(0,1), Y~(0,1)
则p(x)=1 x∈(0,1)
0 其他
p(y)=1 y∈(0,1)
0 其他
因为独立，所以XY的联合概率密度为
p(x,y)=p(x)p(y)=1 (x,y)∈(0,1;0,1)
0 其他
再求P(XY≤1/4)就可以了！

追问

我就是求到P(XY≤1/4)这一步不会

追答

因为概率密度在边长为1的正方形内值为1
所以只需求面积就好了，可以用正方形（0,1；0，1）的面积减去双曲线xy=1/4上面的部分的面积即可，图我画不了
P(XY≤1/4)=1-∫[1/4, 1]dx∫[1/(4x), 1] 1dy=1-[(3/4)-0.5ln2]=(1/4)+0.5ln2

Answer 2

由题意得：画图（- -这我画不了啊）；因为G={(x,y)/0<x,y<2}是个无界的区域，其面积S=无穷。
且根据定义：概率p=S1/S. S1=（X与Y至少有一个小于1的所有情况）（自己画图可以看到）
因为0<x<1且小于2是个有界域，可以忽略不计。所以得S1是y<2的区域面积，为S/2.所以P=1/2.