已知三角形ABC为正三角形，P为内切圆上任一点，求证：PA^2+PB^2+PC^2为定值！
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解答：
以等边△ABC的BC中点为平面直角坐标系坐标原点，AO为Y轴，
设△ABC边长=2a，则B、C坐标为：
B﹙－a，0﹚、C﹙a，0﹚，
AO⊥BC，作BE⊥AC，
则AO与BE交点D就是等边△ABC的内切圆的圆心，
由勾股定理或三角函数可求得：
AO=√3a，OD=√3a／3，
∴D坐标为：D﹙0，√3a／3﹚，r=√3a／3，
∴圆D的方程为：x²＋﹙y－√3a／3﹚²=﹙√3a／3﹚²，
化简得：①3x²＋3y²－2√3ax=0，
设P﹙m，n﹚是圆D上任意一点，
则P点满足圆方程：
∴②3m²＋3n²－2√3an=0，
又由两点之间的距离公式得：
PA²=m²＋﹙n－√3a﹚²，
PB²=﹙m＋a﹚²＋n²，，
PC²=﹙m－a﹚²＋n²，
∴将上面的值代入原式并化简得：
所以PA²＋PB²＋PC²
=3m²＋3n²－2√3an＋5a²，
=0+5a²
=5a²
PA²＋PB²＋PC²=5a²是一个定值。
当然为了好算把边长设为2a
若是边长=a PA²＋PB²＋PC²=5a²/4
不知道纯几何解法有没有，这是初中的还是高中的题？？？
以等边△ABC的BC中点为平面直角坐标系坐标原点，AO为Y轴，
设△ABC边长=2a，则B、C坐标为：
B﹙－a，0﹚、C﹙a，0﹚，
AO⊥BC，作BE⊥AC，
则AO与BE交点D就是等边△ABC的内切圆的圆心，
由勾股定理或三角函数可求得：
AO=√3a，OD=√3a／3，
∴D坐标为：D﹙0，√3a／3﹚，r=√3a／3，
∴圆D的方程为：x²＋﹙y－√3a／3﹚²=﹙√3a／3﹚²，
化简得：①3x²＋3y²－2√3ax=0，
设P﹙m，n﹚是圆D上任意一点，
则P点满足圆方程：
∴②3m²＋3n²－2√3an=0，
又由两点之间的距离公式得：
PA²=m²＋﹙n－√3a﹚²，
PB²=﹙m＋a﹚²＋n²，，
PC²=﹙m－a﹚²＋n²，
∴将上面的值代入原式并化简得：
所以PA²＋PB²＋PC²
=3m²＋3n²－2√3an＋5a²，
=0+5a²
=5a²
PA²＋PB²＋PC²=5a²是一个定值。
当然为了好算把边长设为2a
若是边长=a PA²＋PB²＋PC²=5a²/4
不知道纯几何解法有没有，这是初中的还是高中的题？？？
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