Question

lim(x→0)(x²tan²x)/(1－cosx)²

Answer 1

①1-cosx=2sin²(x/2)
tanx=sinx/cosx=2[sin(x/2)cos(x/2)]/cosx
将上式代入原式可得
原式=lim【x→0】 [x²cos(x/2)]/[cosxsin²(x/2)]
=lim【x→0】 [cos(x/2)/cosx]*[4(x/2)²/sin²(x/2)]
=4
其中利用极限lim cos(x/2)=1 , lim cosx=1 , 重要极限lim x/sinx=1,当x→0时
②也可利用等价无穷小代换，当x→0时有tanx~x, 1-cosx~0.5x²
所以原式=lim【x→0】 x^4/(0.5x²)²=4
③也可以利用洛比达法则求解！
不明白的可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

运用x→0时，sinx~x 直接化简。
=lim(x→0)(x²tan²x)/(1－cosx)²
=lim(x→0)(x^4)/(1－cosx)²
0/0型，用罗比塔法则

=lim(x→0)(4x^3)/[2(1-cosx)sinx]
=lim(x→0)(2x^2)/[(1-cosx)]
0/0型，再用罗比塔
=lim(x→0)(4x)/[sinx]
=4