Question

如图，如图1，平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）

（1）BD平分∠ABO的外角，∠ADO=45°，求∠BAD的大小
（2）如1中，求AE与OB的比值
（3）如图2，点P在OB上,AP⊥PF，∠OBF=135°，问AP与PF的比值是否变化？
谢谢喽1题的2题的

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Answer 1

如图，如图1，平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）
（1）BD平分∠ABO的外角，∠ADO=45°，求∠BAD的大小
（2）如1中，求AE与OB的比值
（3）如图2，点P在OB上,AP⊥PF，∠OBF=135°，问AP与PF的比值是否变化？
⑴解析：∵OA=OB，∠O=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠ABO=∠ADO=45°，∴A、O、B、D四点共圆，
∴∠ODB=∠OAB=45°，∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABX，∴∠ABD=1/2(π-π/4)= 3π/8
∴∠BAD=π/2-3π/8=π/8，
⑵解析：∵∠DAO=π/4+π/8=3π/8，∠ADO=π/4，
∴∠AOD=3π/8==>∠AEO=3π/8，
∴AE=OA=OB，∴AE/OB=1。
⑶此题好象有点问题，点P在OB上移动，AP⊥PF，∠OBF=135°，问AP与PF的比值是否变化？若P不动，AP/PF谈何变化？
解析：过F作FE⊥OB交OB延长线于E
∵∠APF=90°∴∠APO+∠BPF=90°
∵⊿AOP为直角三角形，∴∠APO+∠OAP=90°
∴∠BPF=∠OAP
设P(x0,0)
tan∠BPF =FE/EP=tan∠OAP=OP/OA=x0/4
∵∠OBF=135°
∴∠EBF=45°==>EF=EB
∴FE/EP=EF/(EF+BP)= EF/(EF+4-x0)=x0/4==>EF=x0
即EF=OP
∴ΔAOP≌ΔPEF
∴AP=PF，
∴AP/PF=1，在P移动过程中保持不变。

Answer 2

⑴∵OA=OB，∠O=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠ABO=∠ADO=45°，∴A、O、B、D四点共圆，
∴∠ODB=∠OAB=45°，∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABX，∴∠ABD=1/2(180°-45°)=67.5°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=22.5°，
⑵∵∠DAO=45°+22.5°=67.5°，∠ADO=45°，
∴∠AOD=67.5°(ΔAOD内角和)，
又由ΔAOE内角和为180°得，∠AEO=180°-∠OAB-∠DOA=67.5°，
∴AE=OA=OB，∴AE：OB=1。
⑶在OAH截取OQ=OP，连接PQ，则∠AQP=135°=∠PBF，
∵∠APF=90°，∴∠APO+∠BPF=90°(平角的定义)，
又∠APO+∠OAP=90°，∴∠BPF=∠OAP，
由OA=OB得：AQ=PB，∴ΔAQP≌ΔPBF，
∴AP=PF，
∴AP：PF=1，始终不变。