Question

已知数列an中,a1=1,a(n+1)=2an+3^n,求数列an的通项公式

我知道答案正解，但是为什么不能这样做

a(n+1)+3^n=2[a(n)+3^n]
[a(n+i)+3^n]/(a(n)+3^n]=2
可得出｛a(n)+3^n｝是首项为4，公比为2的等比数列

设bn=a(n)+3^n=b1*q^(n-1)=4*2^(n-1)=2^(n+1)
所以an=2^(n+1)-3^n

和答案不一样，为什么！！
望解答！！thanks

Answer 1

数列｛a(n)+3^n｝的第n项是an+3^n
那么第n+1项应该为a(n+1)+3^(n+1)
而不是a(n+1)+3^n

∴【a(n+1)+3^n=2[a(n)+3^n]
[a(n+i)+3^n]/(a(n)+3^n]=2
可得出｛a(n)+3^n｝是首项为4，公比为2的等比数列】
是错的

数列｛a(n)+3^n｝的第n项是an+3^n
那么第n+1项应该为a(n+1)+3^(n+1)
而不是a(n+1)+3^n

∴【a(n+1)+3^n=2[a(n)+3^n]
[a(n+i)+3^n]/(a(n)+3^n]=2
可得出｛a(n)+3^n｝是首项为4，公比为2的等比数列】
是错的

正解：
∵a(n+1)=2an+3^n,
∴a(n+1)- 3^(n+1)=2(an-3^n)
∴[a(n+1)-3^(n+1)]/(an-3^n)=2
∴｛a(n)-3^n｝是首项为-2，公比为2的等比数列
∴an-3^n=-2*2^(n-1)=-2^n
∴an=3^n-2^n

追问

就是说，当【a(n+1)+3^（n+1)=2[a(n)+3^n】时就可以用下面的算法计算得数。
也就是说，像【a(Q)+3^P=2[a(S)+3^D】若为等比数列。Q=P.S=D
方可构成等比数列
是吧

追答

待定系数法就很好：

a(n+1)+x* 3^(n+1)=2(an+x*3^n)
a(n+1)+3x*3^n=2an+2x*3^n
a(n+1)=2an-x*3^n
与a(n+1)=2an+3^n,对比
x=-1

Answer 2

a(n+1)-3^(n+1)=2[a(n)-3^n]

[a(n+i)-3^(n+1)]/(a(n)-3^n]=2

可得出｛a(n)-3^n｝是首项为-2，公比为2的等比数列

an=3^n-2^n

追问

就是说，当【a(n+1)+3^（n+1)=2[a(n)+3^n】时就可以用下面的算法计算得数。
也就是说，像【a(Q)+3^P=2[a(S)+3^D】若为等比数列。Q=P.S=D
方可构成等比数列
是吧