Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP；⑤PD=根号2 EC．其中正确结论的番号是 ．

Answer 1

①②④⑤
①延长FP、EP与AB、AD相交，得到两个全等的矩形，AP、EF分别是两个矩形的对角线
②在两个矩形中证明两个直角三角形全等，然后角互余
③只有P分别在5个特定的点时才成立
④在②中证明
⑤PD=√2·PF=√2·EC

Answer 2

1.2.4.5
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴①AP=EF，
∴④∠PFE=∠BAP，
∵GF‖BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴DP= 2EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．

Answer 3