Question

设函数f(x)=1/4x^4+1/3ax^3+1/2bx^2+2x在x=-1处取得极值，又在x=c(c≠-2)处有f'(c)=0，但在x=c处无极值

求a,b的值

Answer 1

f(x)=1/4x^4+1/3ax^3+1/2bx^2+2x
f′(x)=x^3+ax^2+bx+2
因为 x=-1处取得极值
所以 -1+a-b+2=0 即 a-b+1=0 b=a+1
所以 f'(x)=x^3+ax^2+(a+1)x+2=(x+1)(x^2+ax+2)。
因为 f'(c)=0 但c不是极值点，显然c满足 x^2+ax+2是一个完全平方式，
即 a^2-8=0
解得 a=2√2 或a=-2√2， b=2√2+1或a=-2√2+1。